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高斯公式

设在闭区域$\Omega$上有稳定流动的、不可压缩的物体（假定流体的密度为1）的速度场

$\vec{v}(x,y,z)=P(x,y,z)\vec i+Q(x,y,z)\vec j+R(x,y,z)\vec k$ $\displaystyle \iiint div \ \vec v dv= \iint_{\Sigma}\vec v \cdot \vec ndS$

其中

$\vec{v}=(P,Q,R)$, $\vec n = (cos \alpha, cos \beta, cos \gamma)$, $d\vec S = \vec n\cdot dS=(dydz, dzdx, dxdy)$ $div \ \vec v = \nabla \cdot \vec v= \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$

单位时间内流体经过曲面$\Sigma$流向指定侧的流体总质量就是

$$\begin{align}\displaystyle \iint_{\Sigma}\vec v \cdot \vec ndS&=\iint_{\Sigma}(P,Q,R)\cdot(cos \alpha, cos \beta, cos \gamma)dS\\&=\iint_{\Sigma}(Pcos \alpha + Qcos \beta + Rcos \gamma)dS\\&=\iint_{\Sigma}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy\\&=\iiint_{\Omega}\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}dv\\&=\iiint_{\Omega}div \ \vec v dv\end{align}$$

斯克托斯公式

$\displaystyle \iint_{\Sigma}rot\vec v \cdot \vec ndS=\unicode{x222E}_\Gamma \vec v\cdot \vec \tau ds$

意义为:速度场$\vec v$沿有向闭曲线$\Gamma$的环流量等于速度场$\vec v$的旋度通过曲面$\Sigma$的通量,这里$\Gamma$的正向与$\Sigma$的侧应符合右手规则.

其中

$\vec{v}=(P,Q,R)$, $\vec n = (cos \alpha, cos \beta, cos \gamma)$, $d\vec S = \vec n\cdot dS=(dydz, dzdx, dxdy)$, $rot \vec v = \nabla \times \vec v =(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})\vec i+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})\vec j+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\vec k$ $\vec \tau ds=d \vec s=dx \vec i + dy \vec j + dz \vec k$

$\displaystyle \iint_{\Sigma}(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\unicode{x222E}_\Gamma Pdx+Qdy+Rdz$

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